مثلث فراكتالي

در این وبلاگ تمامی کتاب های مورد نیاز دانشجویان رشته ریاضی در سطح کارشناسی ارشد موجود است

download math book

با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.

مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.

جسم فراکتال از دور ونزدیک یکسان دیده می شود. به تعبییر دیگر خودمتشابه است.

وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.

بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.

در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.

میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.

( وحید قبادیان، مبانی و مفاهیم در معماری معاصر غرب صص ۱۶۶-۱۶۷)

هندسه ی اقلیدسی – احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .

این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.

فرکتال از کلمه ی لاتین فراکتوس به معنی سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است . اولین بار فرکتال را دکتر ماندلبروت طی نظریه ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد و در این نظریه عنوان کرد که جهان هستی بعدی مابین ۲۳/۱-۳۴/۱۱ دارد و تمامی پدیده های طبیعی به نوعی فرکتالهایی می باشند در جهان هستی که برای ما ناشناخته اند.

فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست .بنابراین “نامرتب ” نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند .هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است . به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد .در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند .

فراکتال ها به وسیله ی ” تکرار ” توسعه می یابند که به این معنی است که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال ” مرکب ” است . اما با این حال می توان آن را به وسیله ی الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است .

فرکتال (برخال) چیست؟
ما فرکتال‌ها را هر روز می‌بینیم: درختها ، کوهها، پراکنده شدن برگهای پاییزی روی زمین ، ساحل دریا و …

حالا به این تعریف دقت کنید: فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از ” کل ” تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک مثلث فراكتالي سرگرمی خوب به آن نگاه کرد. اگر بخواهیم بترسانیمتان می‌توانیم بگوییم که هندسه فراکتالی حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و یا ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد ! اما راستش را بخواهید فراکتال چیز ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش.
واژه فرکتال از ریشه ای یونانی به معنای ” تکه تکه شده ” و”بخش بخش” آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد.

اگر بخواهیم از دید کلی به بحث فرکتال نگاه کنیم آن را می توان به ۳ دسته تقسیم بندی کرد :

۱- هندسه فرکتال : در این قسمت از دید ریاضی به فرکتال نگاه می شود که بیشتر مورد توجه ریاضی دان ها قرار گرفته اما پایه های قسمت های بعدی نیز می باشد ، و تا با عناصر اصلی فرکتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی توان فرم های مختلف و حجم های مختلف را شناسایی کرد.

۲- فرم فرکتال : قسمت دوم این مقاله است ، با توجه به اینکه ،محصول هندسه فرکتال فرمی است که دقیقاً آن مشخصه های هندسی مربوطه را دارد . در این بخش فرم هایی همچون فرم های درخت ، فرم های مندلبرت ، فرمهای موجود در طبیعت ، ایجاد فرم های رندوم (Random fractal) ، خود متشابهی (self similarity) ، فرکتال در نقاشی ( آثار نقاشانی چون جکسون پالاک ) و … مورد بررسی قرار خواهد گرفت .

۳- حجم فرکتال (فرکتال در معماری): نتیجه فرم های مختلف می تواند به یک اثر معماری منتج شود لذا در این بخش حجم های فرکتالی و آثار معماری مطرح می شود .

اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که بسیار جالب است. با کمی دقت به اطراف خود، می توان بسیاری از این اشکال را یافت. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و حتی می توان از این هم فراتر رفت : سطح کره ماه ، منظومه شمسی و ستارگان .

البته در بخش فرم های فرکتال این موضوع بیشتر مشهود است به طوری که بسیاری از فرمهای خلقت دارای ساختاری فرکتال هستند .

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نیز نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی می کنند.

فرکتال از منظر هندسی

هندسه فرکتالی یا هندسه فرکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت.

واژه فرکتال در سال ۱۹۷۶ توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد.

او در سال ۱۹۸۷ پرفسوری خود را در رشته ریاضیات گرفت.

مندلبرات وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می نمود به این نتیجه رسید که هر گاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که مقیاس کوچکتر باشد.

از لحاظ واژه مندلبرات انتخاب اصطلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتین fractus یا fractum (به معنی شکسته ) گرفت تا بر ماهیت قطعه قطعه شونده که یکی از مشخصه های اصلی این فرم است ،تاکید داشته باشد .

فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصویب کرده و همچنین برای واژه فرکتالی واژه برخالی را تصویب کرده است.

واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد.

فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:

۱-اول اینکه دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد.

۲-در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.

۳-بعد آن یک عدد صحیح نباشد (مثلاً‌ ۱٫۵).

برای درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسی ، بد نیست نمونه ای که شاید تا کنون با آن برخورد کرده باشید مطرح شود :

تصویر بالا ( یک کبوتر ) یک فرم هندسی است که دقیقاً با تعاریفی که در تعریف فرکتال بیان شد، منطبق است یعنی هم دارای خاصیت خود متشابهی و پیچیدگی در مقیاس خرد و نیز عدم داشتن بعد صحیح . تصویر بالا دارای بعدی بین عدد ۲ و ۳ است.

حال به بررسی هر یک در زیر پرداخته شده :

خاصیت خود متشابهی فرکتا لها

شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می گوییم: هر گاه قسمت هایی از آن با یک مقیاس معلوم ، یک نمونه از کل شیئی باشد.

ساده ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعه‌ی کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است .

همین طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است ،چرا که هر یک از شاخه های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر .همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.

رشته کوه ها ، پشته های ابر ، مسیر رودخانه ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثال‌ها‌یی از یک ساختمان خود متشابه هستند.

نمونه ای از خود متشابهی در شکل زیر نیز دیده می شود.

فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است .

واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نا منظم شکسته و خرد شده .این واژه برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد .

جسم فراکتال از دوز و نزدیک یکسان دیده می شود .مثلا وقتی به یک کوه نگاه می کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می شود ولی وقتی نزدیک می شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه های یک درخت شبیه خود درخت هستند .البته در طبیعت نمونه های اجسام فراکتال فراوان است مثلا ابرها -رودها -سرخس ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است .و اگر به ساخته های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند . و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند .گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

خصوصیات اشکال فرکتال

- اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می شوند ولی اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می شوند.( فرآیندهای پویا, فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.)

- اشکال فرکتال دارای خاصیت خود همانندی است. طول این اشیا بی نهایت است که در فضای محدود, محصور شده اند.

- مجموعه های فرکتال, از زیر مجموعه هایی تشکیل شده اند که این زیر مجموعه ها شبیه مجموعه های بزرگتر هستند.

- هندسه فرکتال دارای ساختارهای ظرفیتی بالاست ولی ظرفیت اطلاعاتی اشیای اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.

- هندسه فرکتال, بیان ریاضی از معماری طبیعت است.

- هر فرآیند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی, آشوب است. در حقیقت, فرکتال تصویر ریاضی از آشوب است.

در این وبلاگ تمامی کتاب های مورد نیاز دانشجویان رشته ریاضی در سطح کارشناسی ارشد موجود است

##################################
دنیای این روزای من
همقد تن بوشم شده
اینقد دورم از تو که
دنیا فراموشم شده
##################################
باران را در آغوش می گیرم

و خودم را غرق در رویای بدون تو بودن می کنم

تو با آغوشی باز.

با آغوشی پر از نفس های پاییزی

به استقبالم می آیی.

و مرا تنگ در آغوشت می گیری

و یک نفس عمیق تو کافیست

برای دوباره جان دادنم در هوای بودنت.
.
دلم گرفته از زمين
دلم گرفته از زمان
قدري دلم عاشق شد و
آن هم به قدر آسمان
----------------------------------------

فیزیک؛ سلوک در ژرفای گیتی

خاموشی ابدی فضاهای لایتناهی، مرا به هراس می اندازد.

آشنایی هندسه فراکتالی

همه شما حتي اگر از هندسه نيز چيزي ندانيد بارها نام آن را مثلث فراكتالي شنيده ايد. و حتماً مي دانيد كه «جبر، حساب و هندسه» سه شاخه مهم از رياضيات است، همين سه عنوان در رياضيات پايه گذار پيشرفت در تمام علوم محسوب مي شوند.

شايد همين حس مسئوليتي كه رياضيات به تمام بخش هاي علوم دارد آن را بسيار جدي و در نظر بسياري، علمي خشك و در عين حال سخت جلوه داده است. در اين ميان هندسه نقش بسيار مهمي را حتي در شاخه هاي رياضي برعهده دارد. هندسه كه مي توان به آن علم بازي با اشكال لقب داد، خود پايه گذار ديگر شاخه هاي رياضي است. زيرا تمام قسمت هاي ديگر در رياضيات و علوم ديگر تا به صورت مشهودي قابل بررسي دقيق و اصولي نباشد جاي پيشرفت چشمگيري براي آنها نمي توان درنظر گرفت. با اين اوصاف، شايسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهيم.شايد اگر زماني كه حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبيعي منتهي مي شدو معلم درس رياضيات از ما مي خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاويه اي را كه طول هر ضلعش يك سانتي متر است اندازه بگيريم نمي توانستيم عددي را با چنين ويژگي بيابيم .سال ها پيش اقليدس با حل مسئله اي نظير اين (محاسبه قطر مربعي كه هر ضلعش 1 واحد بود)، سلسله اعداد جديدي را به مجموعه هاي شناخته شده اضافه كرد كه يكي از شاهكارهاي بي نظير در پيشرفت رياضيات و البته علوم بود. بله اين عدد عجيب و غريب «راديكال 2» بود.

عموم تحصيلكردگان با هندسه اقليدسي آشنا هستند. زيرا دست كم در طول دوران تحصيل خود به اجبار هم كه بوده در كتاب هاي درسي با اين هندسه كه اصول آن بر مبناي اندازه گيري است آشنا شده اند. اما هندسه اقليدسي تنها به بررسي اشكال كلاسيك موجود در طبيعت مي پردازد. در اين هندسه اشكال و توابع ناهموار، آشفته و غير كلاسيك به بهانه اينكه مهار ناپذيرند، جايي نداشتند.

بالاخره در سال 1994، طلسم يكي از تئوري هاي رياضي كه از سال1897، عنوان شده بود، شكست و «مندلبرات» رياضيدان لهستاني، پايه گذار هندسه جديدي شد كه به آن هندسه بدون اندازه يا هندسه فركتالي گويند. هندسه بدون اندازه يكي از شاخه هاي جديد رياضيات است كه در برابر تفسير و شبيه سازي اشكال مختلف طبيعت از خود انعطاف و قابليت بي نظير نشان داده است. با به كارگيري هندسه فركتالي، افق روشني پيش روي رياضيدانان و محققان در زمينه بازگو كردن رفتار توابع و مجموعه هاي به ظاهر ناهموار و پر آشوب قرار گرفت.

واژه فركتال به معناي سنگي است كه به شكل نامنظم شكسته شده باشد. در اين هندسه اشكالي مورد بررسي قرار مي گيرند كه بسيار نامنظم به نظر مي رسند. اما اگر با دقت به شكل نگاه كنيم متوجه مي شويم كه تكه هاي كوچك آن كم و بيش شبيه به كل شكل هستند به عبارتي جزء در اين اشكال، نماينده اي از كل است. به چنين اشكالي نام «خود متشابه» نيز مي دهند.

اشكال فركتالي چنان با زندگي روزمره ما گره خورده كه تعجب آور است. با كمي دقت به اطراف خودتان، مي توانيد بسياري از اين اشكال را بيابيد. از گل فرش زير پاي شما و گل كلم درون مغازه هاي ميوه فروشي گرفته تا شكل كوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شكل ريشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شكل سرخس ها، سياهرگ و شش و.

همه اينها نمونه هايي از اشكال فركتالي اند.

اين موجودات به عنوان اصلي ترين بازيگران هندسه منتج از نظريه آشوب شناخته مي شوند.

اين هندسه ويژگي هاي منحصر به فردي دارد، که مي تواند توجيه گر بسياري از رويدادهاي جهان اطراف ما باشد، اما ويژگي اصلي که در تعريف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث مي شود ما استفاده ويژه اي از اين سيستم ببريم.

اين روزها از فراکتالها به عنوان يکي از ابزارهاي مهم در گرافيک رايانه اي نام مي برند، اما هنگام پيدايش اين مفهوم جديد بيشترين نقش را در فشرده سازي فايلهاي تصويري بازي کردند.

براي آن که درک بهتري نسبت به فراکتالها داشته باشيم ، بد نيست نگاه مختصري به آشوبي بيندازيم ، که فراکتال ها فضاي هندسي آنها را تعريف مي کند.

فصل مشترک تعاريفي که براي مفهوم آشوب ارائه شده است ، تاکيد بر اين نکته است که آشوب دانش بررسي رفتار سيستم هايي است که اگرچه ورودي آنها قابل تعيين واندازه گيري است ، اما خروجي اين سيستم ها ظاهري کتره اي و تصادفي دارد.

شايد به همين دليل بود که استوارت رياضيدان برجسته اين موضوع را مفهومي احتمالاتي مي دانست ، اما چيزي نگذشت که وي تعريف خود را اصلاح کرد و به تعريفي رسيد که تقريبا مورد تاييد عمومي قرار دارد.

بر اساس اين تعريف ، آشوب به توانايي يک الگو و مدل ساده گفته مي شود که اگرچه خود اين الگو هيچ نشاني از پديده هاي تصادفي در خود ندارد، اما مي تواند منجر به ظهور رفتارهاي بسيار بي قاعده در محيط شود.

براي مثال ، يک دنباله رياضي از اعداد را در نظر بگيريد که براي توضيح يک پديده مشخص وضع شده است.

اگرچه آشوب نظريه اي است که بر موضوعات گوناگون اجتماعي و سياسي و اقتصادي نظر دارد، اما نيازمند زباني براي تصوير سازي مفاهيم خود بود و اين عرصه اي بود که هندسه آشوب يا فراکتالها خلق کردند.

ما در هندسه آشوب با تصاوير متفاوتي سرو کار داريم ، تصاويري که بزرگترين خصوصيات آنها اين است که وقتي رسم آن را آغاز مي کنيم ، نمي دانيم در نهايت با چه پديده اي روبه رو خواهيم شد و از سوي ديگر بازخورد در آن نقش اساسي دارد. بياييد يک فرمول کلي را اجرا کنيم. يک مثلث متساوي الاضلاع رسم کنيد.

حال ميانه 3ضلع را مشخص کرده و از رسم آنها به هم مثلث متساوي الساقين جديدي به دست آوريد. همين بلا را بر سر 3مثلث تشکيل شده بيروني بکنيد و اين روند را تا آنجا که مي توانيد ادامه دهيد. شما با استفاده از يک رابطه ساده - که تقسيم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آنها به هم بود - و با تکرار آن موفق به رسم نقشه يک ساختار فراکتالي شده ايد.

چنان اشکالي اجزاي سازنده هندسه جدي فراکتالي هستند؛ هندسه اي که به قول يکي از خالقان آن ، يعني مندلبرات ابزاري را براي ديدن بي نهايت در اختيار ما قرار مي دهد.اين اشکال يک مشخصه بسيار عمده دارند. کل شکل از اجزايي مشابه شکل اول تشکيل شده است.

در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه اي مثلثهاي همسان به وجود آمده است. اين يکي از خصوصيات زيباي فراکتالهاست که همزمان از سوي طبيعت و فناوري به کار گرفته شده است.

اگر تا به حال به يک برگ سرخس نگاه کرده باشيد، مي توانيد متوجه تشابه اجزاي مختلف آن شويد. ساختار کل ساقه همانند يک برگ و ساختار يک برگ همانند يک جزو کوچک آن است.

اگر فرصت کرديد نگاهي هم به سواحل درياها يا تصاوير هوايي کوهستان ها و گياهان اطرافتان بيندازيد، بسرعت درخواهيد يافت که در جهاني آشوب زده احاطه شده ايد.

با استفاده از فركتال ها به راحتي مي توان نوار قلب بيماران را تفسير كرد و حتي احتمال بروز حمله قلبي در آنها را حدس زد و از آن جلوگيري كرد.ممكن است روزي فركتال ها در فهميدن چگونگي كار مغز يا ارگانيسم بدن بسيار كارآ و مؤثر واقع شوند. پيدا كردن پيوندهاي بين علم و زندگي، آن رويي از سكه است كه متاسفانه در كشور ما اصلاً به آن توجهي نمي شود. در صورتي كه پيدا كردن و بيان اين پيوندها مي تواند تاثيرات بسياري بر پيشرفت علوم و عمومي كردن آن داشته باشد.

اگر هنوز از اين موجودات ساده و در عين حال پيچيده هيجان زده نشده ايد، اين نکته را هم بشنويد.اين اجسام نه يک بعدي اند، نه دو بعدي و نه سه بعدي.

اين ها ابعادي کسري دارند؟ فراکتالها دقيقا به دليل همين خاصيت ويژه اي که دارند، زماني توانستند روشي براي ذخيره سازي تصاوير ارائه دهند. معمولا زماني که يک تصوير گرافيکي قرار است به شکل يک فايل تصويري ذخيره شود، بايد مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گيري پيکسل و رنگ آن به صورت داده هايي عدي ذخيره شود و زماني که يک مرور گر بخواهد اين فايل را براي شما به تصوير بکشد و نمايش دهد، بايد بتواند اين کدهاي عدي را به ويژگيهاي گرافيکي تبديل کند و آن را به نمايش بگذارد. مشکلي که در اين کار وجود دارد، حجم بالايي از داده ها ست که بايد از سوي نرم افزار ضبط کننده و توليد کننده بررسي شود.

اگر بخواهيم تصوير نهايي ما کيفيتي عالي داشته باشد،نيازمند آنيم که اطلاعات هريک از نقاط تشکيل دهنده تصاوير را با دقت بالايي مشخص و ثبت کنيم و اين حجم بسيار بالايي از حافظه را به خود اختصاص مي دهد، به همين دليل ، روشهايي براي فشرده سازي تصوير ارائه مي شود.

اگر نگاهي به فايلهايي که با پسوندهاي مختلف ضبط شده اند، بيندازيد متوجه تفاوت فاحش حجم آنها مي شويد. برخي از اين فرمتها با پذيرفتن افت کيفيت بين تصوير توليدي و آنچه آنها ذخيره مي کنند، عملا اين امکان را در اختيار مردم قرار مي دهند، که بتوانند فايلها و تصاوير خود را روي فلاپي ها و با حجم کمتر ذخيره کنند يا روي اينترنت قرار دهند.

براي اين فشرده سازي از روشهاي مختفي استفاده مي شود. درواقع در اين فشرده سازي ها بر اساس برخي الگوريتم هاي کار آمد سعي مي شود به جاي ضبط تمام داده هاي يک پيکسل مشخصات اساسي از يک ناحيه ذخيره شود، که هنگام باز سازي تصوير نقشي اساسي تر را ايفا مي کنند.

در اينجاست که روش فراکتالي اهميت خود را نشان مي داد. در يکي از روشهايي که در اين باره مطرح شد مثلث فراكتالي و با استقبال بسيار خوبي از سوي طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصيت الگوهاي فراکتالي بود. در اين روش از اين ويژگي اصلي فراکتالها استفاده مي شد که جزيي از يک تصوير در کل آن تکرار مي شود.براي درک بهتر به يک مثال نگاهي بيندازيم. فرض کنيد تصويري از يک برگ سرخس تهيه کرده ايد و قصد ذخيره کردن آن را داريد.

همان طور که قبلا هم اشاره شد، اين برگ ساختاري کاملا فراکتالي دارد؛ يعني اجزاي کوچک تشکيل دهنده در ساختار بزرگ تکرار مي شود.

بخشي از يک برگ کوچک، برگ را مي سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلي را تشکيل مي دهد. اگر بخواهيم تصوير اين برگ را به روش عادي ذخيره کنيم ، بايد مشخصات ميليون ها نقطه اين برگ را دانه به دانه ثبت کنيم ، اما راه ديگري هم وجود دارد. بياييد و مشخصات تنها يکي از دانه هاي اصلي را ضبط کنيد. در اين هنگام با اضافه کردن چند عملگر رياضي ساده بقيه برگ را مي توانيد توليد کنيد.

در واقع ، با در اختيار داشتن اين بلوک ساختماني و اعمال عملگرهايي چون دوران حول محورهاي مختلف ، بزرگ کردن يا کوچک کردن و انتقال مي توان حجم تصوير ذخيره شده را به طور قابل توجهي کاهش داد.

در اين روش نرم افزار نمايشگر شما هنگامي که مي خواهد تصوير را بازسازي کند، بايد ابتدا بلوک کوچک را شبيه سازي کرده ، سپس عملگرهاي رياضي را روي آن اعمال کند، تا نتيجه نهايي حاصل شود.

به نظر مي رسد اين روش مي تواند حجم نهايي را به شکل قابل ملاحظه اي کاهش دهد، اما تنها يک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم مثلث فراكتالي اين نکته است که همه اشياي اطراف ما برگ سرخس نيستند و بنابراين الگوهاي تکرار در آنها هميشه اينقدر آشکار نيست.

بنابراين بايد روشي بتواند الگوهاي فراکتالي حاضر در يک تصوير را شناسايي کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.

به همين دليل ، معمولا روش فراکتالي با روشهاي فشرده سازي ديگر همزمان به کار برده مي شود؛ يعني اگر الگوهاي تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازي امکانپذير باشدالبته زياد نگران ناکارامدي اين روش نباشيد. يادتان نرود، شما در جهاني زندگي مي کنيد که براساس يافته جديد ساختاري آشوبناک دارد.

مطمئن باشيد هندسه فراکتال بر بسياري از اشکال عالم حاکم است ؛ حتي اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

شما نيز با دقت بيشتر به اطرافتان و يافتن ارتباط هاي ملموس بين رياضي و زندگي مي توانيد از سختي و به اصطلاح خشك بودن رياضي بكاهيد.

مندلبورت در کالج نيوتن کمبريج بنوت مندلبورت در سال 1924 در لهستان بدنيا آمد. پدر او دستفروش لباس هاي دست دوم بود و مادرش پزشکي مي کرد. او مباني رياضيات را از دو عموي خود فرا گرفت و به همراه خانواده خود در سال 1936 به فرانسه مهاجرت کرد. در آنجا با کمک يکي ديگر از عموهايش که پروفسور رياضيات بود اقامت فرانسه را گرفتند.

اين مهاجرت باعث شد تا وي بيشتر به رياضيات علاقمند شود اما جنگ جهاني دوم شروع شده بود و مندلبورت هراس اين را داشت که نتواند به رياضايات بپردازد. در باره او مي گويند :

"جنگ، تنگدستي و نياز به زندگي او را از مدرسه و تحصيل دور کرد و به همين دليل بود که او را حد اکثر يک معلم دبيرستاني خودآموز خوب مي دانستند."

عدم تحصيل دانشگاهي براي او يک مزيت بود چرا که او ديگر به پديده هاي هستي به چشم يک رياضيدان يا دانشمند آکادميک نمي نگريست، اين طرز آموزش همچنين به وي فرصت داد تا روشهاي بسيار جالبي براي استفاده از هندسه در رياضيات ابداع کند. نبوغ ذاتي او در هندسه باعث شد تا بتواند بسياري از مسائل رياضي را با روشهاي هندسي حل کند.

او در سال 1944 فرصت آنرا مثلث فراكتالي يافت تا در امتحانات پلي تکنيک شرکت کند و توانست بسهولت قبول شود و اين سرآغاز تحصيلات جدي وي بود. پس از پايان تحصيلات به آمريکا رفت و در انستيتوي مطالعات پيشرفته پرينستون مشغول به فعاليت شد.

پس از ده سال دوباره به پاريس بازگشت و شروع به کار براي مرکز ملي تحقيقات علمي فرانسه نمود. طولي نکشيد که ازدواج کرد و دوباره به آمريکا برگشت. و در آنجا با يك شرکت آغاز به همکاري نمود. وي همواره از اين موضوع صحبت مي کند که دراين شركت چقدر آزاد است و مي تواند روي هر پروژه اي کار کند و فرصتي که اين شركت در اختيار او قرار داده است هيچ دانشگاهي نمي تواند به او بدهد.

تئوري فرکتالها علاوه بر زيبايي خاصي که از ديد رياضي دارد يکي از روشهاي بسيار کاربردي در تفسير و مدلسازي طبيعت مي باشد. آشنايي با فرکتالها به هنرمندان اجازه مي دهد تا آثار هنري بسيار زيبايي را خلق کنند.

منابع: سايتهاي ملاصدرا و خانه رياضيات و رياضيكده

پیـر ما گفت خطا بر قلم صنع نرفت
آفرین بر نظر پاک خطا پوشش بــاد

***************
زندگی یک بازی پیچیده است که طبیعت آن را ترتیب داده و ما مهره های این بازی هستیم. این بازی پایانی دارد؛ ولی قوانینی نیز دارد که برای ما معلوم نیست و هدف و وظیفه ی ما در این بازی شناخت همین قوانین است. کسی که بتواند بهتر و بیشتر از سایر مهره ها این قوانین را بشناسد، جلوتر است؛ و این قوانین فیزیک نام دارد

***************
هوش مشروط به هشیاری و مغز است، و مغز مشروط به تکامل ارگانیسم؛ هوشی که در طبیعت جانوری تکامل می یابد و به انسان میرسد همراه با آگاهی از جهان خارج است

***************
مدیریت این وبلاگ؛ بعنوان عضوی کوچک، افتخار همکاری با مرکز تحقیقات فیزیک نظری و ریاضیات ایران و انجمن فیزیک ایران را دارد

***************
عنوان مقالات ارائه شده از سوی مدیریت وبلاگ

بررسی توپولوژی میدان گرانشی؛
هندسه ناجابجـایی و مسائل فیزیک؛
معرفی نظریه ریسمان؛
شکست تقارن خودبه خودی در مدل سلام واینبرگ

بازی آشوب

در ریاضیات ، اصطلاح بازی آشوب در اصل به روشی برای ایجاد یک فراکتال ، با استفاده از یک چند ضلعی و یک نقطه اولیه که به طور تصادفی در داخل آن انتخاب می‌شود، اطلاق می‌شود. [1] [2] فراکتال با ایجاد مکرر دنباله ای از نقاط ایجاد می شود که با نقطه تصادفی اولیه شروع می شود، که در آن هر نقطه در دنباله یک کسر معین است. فاصله بین نقطه قبلی و یکی از رئوس چندضلعی. راس در هر تکرار به صورت تصادفی انتخاب می شود. تکرار این فرآیند تکراری به تعداد زیاد، انتخاب رأس به‌طور تصادفی در هر تکرار، و بیرون انداختن چند نقطه اول در دنباله، اغلب (اما نه همیشه) یک شکل فراکتال ایجاد می‌کند. استفاده از یک مثلث منظم و ضریب 1/2 منجر به مثلث سیرپینسکی می شود ، در حالی که با ایجاد آرایش مناسب با چهار نقطه و ضریب 1/2، نمایشی از "Trahedron Sierpinski"، آنالوگ سه بعدی Sierpinski ایجاد می شود. مثلث. همانطور که تعداد نقاط به عدد N افزایش می‌یابد، آرایش یک Sierpinski Simplex با ابعاد (N-1) را تشکیل می‌دهد .

این اصطلاح برای اشاره به روشی برای ایجاد جاذبه یا نقطه ثابت هر سیستم تابع تکراری (IFS) تعمیم داده شده است. با شروع با هر نقطه x ₀ ، تکرارهای متوالی به صورت x _k+1 = f _r (x _k ) تشکیل می شوند، که در آن f _r عضوی از IFS داده شده است که به طور تصادفی برای هر تکرار انتخاب شده است. تکرارها به نقطه ثابت IFS همگرا می شوند. هر گاه x ₀ به جاذب IFS تعلق داشته باشد، تمام تکرارهای x _k در درون کشنده باقی می مانند و با احتمال 1، مجموعه ای متراکم در دومی تشکیل می دهند.

روش "بازی آشوب" نقاط را به ترتیب تصادفی در سراسر جاذبه ترسیم می کند. این برخلاف روش‌های دیگر ترسیم فراکتال است که هر پیکسل را روی صفحه آزمایش می‌کنند تا ببینند آیا به فرکتال تعلق دارد یا خیر. شکل کلی یک فراکتال را می توان به سرعت با روش "بازی آشوب" ترسیم کرد، اما ترسیم برخی از مناطق فراکتال با جزئیات ممکن است دشوار باشد.

با کمک "بازی آشوب" می توان یک فراکتال جدید ساخت و در حین ساخت فراکتال جدید پارامترهایی را به دست آورد. این پارامترها برای کاربردهای تئوری فراکتال مانند طبقه بندی و شناسایی مفید هستند. [3] [4] فراکتال جدید از نظر برخی ویژگی‌های مهم مانند بعد فراکتال خود شبیه به اصلی است.

فهرست

بازی هرج و مرج محدود [ ویرایش ]

نقطه ای در داخل یک مربع به طور مکرر نیمی از فاصله را به سمت یک راس انتخابی تصادفی می پرد. هیچ فراکتالی ظاهر نمی شود.

اگر بازی آشوب با یک مربع اجرا شود، هیچ فراکتالی ظاهر نمی شود و فضای داخلی مربع به طور مساوی با امتیاز پر می شود. با این حال، اگر محدودیت هایی در انتخاب رئوس اعمال شود، فراکتال ها در مربع ظاهر می شوند. به عنوان مثال، اگر راس فعلی را نتوان در تکرار بعدی انتخاب کرد، این فراکتال ظاهر می شود:

اگر راس فعلی نتواند یک مکان (در خلاف جهت عقربه های ساعت) با راس انتخاب شده قبلی فاصله داشته باشد، این فراکتال ظاهر می شود:

اگر نقطه از فرود بر روی ناحیه خاصی از میدان جلوگیری شود، شکل آن ناحیه به صورت فراکتال در سایر قسمت‌های مربع و ظاهراً نامحدود بازتولید می‌شود. برای مثال، در اینجا، فراکتال زمانی تولید می‌شود که نقطه نتواند بپرد تا روی نماد قرمز Om در مرکز مربع فرود آید [ توضیح بیشتر لازم است ] :

فراکتال (Fractal)

فراکتال (Fractal) یا بَرخال شکل هندسی چند جزئی است که می‌توان آن را به قسمت‌هایی تقسیم کرد، به‌طوری که هر قسمت یک کپی از «کل» شکل باشد. به تعریفی دیگر فراکتال ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست آید. در واقع فراکتال ساختاری است که هر جزء از آن با کل آن همانند است. فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی می‌گویند. فرکتال شاخهٔ جدیدی از ریاضیات و هنر است. واژهٔ فراکتال مشتق‌شده از واژهٔ لاتینی Fractus (به‌معنی شکسته‌شده) می‌باشد که در سال ۱۹۷۵ برای اولین‌بار توسط بنوآ مندلبرات (Benoit Mandelbrot) مطرح شد.

فراکتال دارای ۳ ویژگی مهم است:
۱. دارای ویژگی خودهمانندی است (Self Similarity)
۲. شکل گرفتن از راه تکرار (Iterative Formation)
۳. بعد کسری (Fractional Dimension) (بعد آن یک عدد صحیح نیست)

منظور از بعد کسری:
۱. یک نقطه بعد ندارد.
۲. یک خط، شکلی یک بعدی است.
۳. یک صفحه، دو بعد دارد.
۴. شکل‌های حجیم، سه بعد دارند.
۵. اما فراکتال‌ها می‌توانند بعد کسری داشته باشند!

دنیای صفر بعدی در واقع نقطه ایست که دارای اندازه نیست و فقط یک تعریف است. خط در دنیای یک بعدی به اتصال دو نقطه هندسی گفته می‌شود که تنها یک مفهوم هستند و هیچ بعدی ندارند. بعد خط یک، بعد صفحه دو و بعد فضا سه است. فراکتال‌ها برخلاف همهٔ این‌ها بعد صحیح ندارند. برای نمونه بعد یک فراکتال می‌تواند ۱٫۲ باشد که بدین صورت از خط پیچیده‌تر و از صفحه سادتر است. بعد فراکتال‌ها از یک سری فرمول‌های لگاریتمی بدست می‌آیند.

برای بوجود آمدن یک شکلِ خودهمانند از یک چیز، باید تمامِ ابعادِ آن چیز نصف شود. مثلا: همان‌طور که می‌دانید یک پاره‌خط، یک بعد دارد و برای تشکیل یک خودهمانند باید پاره‌خط نصف شود و بعد از نصف شدن ۲ پاره‌خط متشابه داریم. و همچنین مربع دو بعد دارد و برای تشکیل خودهمانند باید هر دو بعد آنرا نصف کنیم. با نصف کردن هر دو بعد، ۴ مربع متشابه داریم. و همچنین مکعب سه بعد دارد و برای تشیکل خودهمانند باید هر سه بعد آنرا نصف کنیم. با نصف کردن هر سه بعد، ۸ مکعب متشابه داریم.

شکل	بعد	تعداد اشکال متشابه حاصله
پاره خط	۱	۲ = ۲ ۱
مربع	۲	۴ = ۲ ۲
مکعب	۳	۸ = ۲ ۳

به‌نظر می‌رسد که بعد، همان «توان» است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصل باید ۲ را به توان بعد آن شکل برسانیم. بنابراین جدول زیر را می‌توانیم بجدول بالا اضافه کنیم.

شکل	بعد	تعداد اشکال متشابه حاصله
هر شکل خود متشابه	d	۲ d = n

مثلا در مورد مثلث سیرپینسکی، اگر ما هر سه ضلع مثلث را نصف کنیم به سه مثلث می‌رسیم (توجه داشته باشید که مثلث وسط جزء مثلث سیرپینسکی نیست)، یعنی ۳ = ۲ d

۳ عددی بین ۲ ۱ و ۲ ۲ است. بعد آن بین ۱ و ۲ است. از طریق لگاریتم می‌توانید این مسئله را حل کنید.

از فراکتال‌های ساده می‌توان به برفدانهٔ کُخ (Koch Snowflake) و مثلث سیرپینسکی (Sierpinski Triangle) اشاره کرد.

نوار کناری

ریچارد فاینمن، فیزیک‌دان تاثیرگذار قرن گذشته

پروژه پیچیدگی برای همه

پشت‌پرده نجوم

#شرح_پیچیدگی

دوره «مقدمه‌ای بر بازبهنجارش»

آیا فیزیک می‌تواند شبکه‌های اجتماعی را مدل‌سازی کند؟

برچسب‌ها

دسته‌ها

اطلاعات

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.

فرکتال‌ها| قسمت دوم، ویژگی‌ها و تعاریف

توی پست قبلی مقدمهٔ کوتاهی دربارهٔ فرکتال‌ها و اینکه هندسهٔ توصیف گر طبیعت یک هندسهٔ فرکتالی هست یک توضیحاتی دادم. صرف نظر از فرکتال‌های ساختگی (فرکتال‌هایی که ریاضیدان‌ها معمولاً می‌سازند مثل برف‌دانه کخ) به هر طرف که نگاه کنید می‌تونید یک فرکتال طبیعی رو مشاهده کنید. سر سفره «کلم ترشی (یا بروکلی)»، کنار ساحل «خطوط ساحلی»، «برگ درخت»، «شش‌ها (ریه)»، «رعد و برق» و … خب این فرکتال‌ها چه ویژگی دارند؟ فرکتال‌ها ۳تا ویژگی خاص دارند که بهشون اشاره می‌کنم:

۱) فرکتال ها خودمتشابه هستند!

یک گل‌کلم یا کلم بروکلی رو در نظر بگیرید؛ اگه با یک چاقوی تیز، یکی از گلچه‌های گل کلم رو ببرید و جداگانه بهش نگاه کنید؛ چیزی که به نظر می‌رسه یک گل کلم کامله، اما کوچکتر! اگه باز برش بدید، دوباره، دوباره، دوباره، …، شما گل‌کلم‌های کوچکتری بدست می آرید. به تجربه دیده مثلث فراكتالي شده که بعضی از اشکال این خاصیت عجیب رو دارند، یعنی هر قسمت از شکل مثل کل شکله با این تفاوت که اندازه کوچکتری داره. به این خاصیت خود متشابهی میگند. توی برف‌دانه کخ هم اگر قسمتی از شکل روجدا کنید می‌بینید که دقیقاً مثل کل شکله و این تشابه هیچ وقت قطع نمیشه و همین‌طور ادامه داره! ممکنه که شما بگید یک خط راست هم اگر تکه‌تکه بشه باز هم شکل قسمت اول رو داره پس فرکتاله! اولا اشتباه نکنید یک ویژگی شرط لازمه نه کافی! در ثانی معمولاً منظور ما از خود متشابه بودن، خود متشابه بودن در یک الگوی غیرعادی و غیربدیهیه!

کلم بروکلی، موجودی با ساختار فرکتالی – نمونه یک موجود خودمتشابه 🙂

۲) فرکتال ها دارای بعد غیرصحیح هستند!

همیشه ما با ابعاد صحیح روبه رو بودیم! مثلاً میگیم خط موجودی ۱بعدی، مربع یک شکل ۲ بعدی و مکعب یک شکل ۳بعدیه (ابعاد اقلیدوسی، همه هندسه ای که ما اول یادمی‌گیریم اقلیدوسی هست)! حتی فضا-زمان در نسبیت ۴ بعدیه و نه مثلاً ۳/۴۵ بعدی! همین‌طور نظریه‌هایی مثل ریسمان هم که فراتر از ۳ بعد رفته‌اند هنوز تعداد بعد توجیه کننده‌شون صحیحه مثلاً ۱۱ نه ۱۱/۲۴! ممکنه بپرسید این غیرصحیح بودن بعد فرکتال‌ها دیگه چه صیغه آیه! پس اجازه بدید که «بعد» رو تعریف کنیم. به این شکل نگاه کنید: مطابق شکل، فرض کنید که از یک قطعه شکل سمت چپ میخوایم شکل بزرگتر (با بزرگنمایی ۳ برابر) رو درست کنیم؛ برای این کار به چند قطعهٔ هم اندازه با شکل سمت چپ نیاز داریم؟ برای خط معلومه، اگه همون خط قبلی سه برابر بشه (طولش) شکل جدید حاصل میشه، پس به ۳قطعه هم‌اندازه نیاز داریم. برای مربع هم مثل خط می‌مونه با این تفاوت که هم طولش ۳ برابر میشه و هم عرضش (به شکل نگاه کنید) پس ما به ۹ قطعهٔ هم‌اندازه نیاز داریم؛ و وقتی هم که مکعب میشه، بزرگنمایی هم برای طول و هم برای عرض و هم برای ارتفاع اتفاق افتاده و این دفعه به ۲۷ مکعب نیاز داریم. (به شکل نگاه کنید!) خب این عددهای به دست اومده رو دوباره نگاه کنیم. من توی یک جدول می‌نویسمشون؛

فکر کنم رابطه ای که بین این اعداد هست رو فهمیدید: ۳ و ۹ و ۲۷! یک رابطه که یک تصاعد هندسی هست رسما:

تعداد قطعه هم‌اندازه برای ساخت شکل جدید = بزرگنمایی به توان بعد شکل

از روی این رابطه با استفاده از لگاریتم گیری از طرفین میشه بعد را بدست اورد، یعنی «بعد» میشه:

بعد = لگاریتم تعداد قطعه هم‌اندازه برای ساخت شکل جدید تقسیم بر لگاریتم بزرگنمایی

اگر n تعداد قطعات و m بزرگنمایی باشه:

ما در حقیقت یک تعریف از بعد ارائه کردیم. بعد خودمتشابهی! خب با این تعریف بریم سراغ محاسبه‌ی ابعاد فرکتال ها؛ فرض کنید یک برف‌دانه به این شکل میسازیم که مثل شکل قبل از یک مربع با (با بزرگنمایی ۳) یک مربع بزرگتر که شامل ۹ مربع هم اندازه با مربع اولیه هست به وجود میاد.

حالا مربع‌های کوچیک بالایی، چپی، راستی و پایینی مربع کوچیک مرکز رو مطابق شکل حذف می‌کنیم. اگر همین روند رو ادامه بدیم یک برف دانه ساخته می‌شه! (n روی شکل منظور مرحلهٔ ساخت شکله با n تعداد قطعات کوچکتر اشتباه نگیرید!)

بعد این برفدانه همین جور که می‌بینید یک عدد بین ۱ و ۲ هست! و اینجاست که دیگه بعد، یک عدد صحیح به دست نمیاد. مندلبرو اسم این بعد رو «ناهمواری» میذاشت که تعریف جالب‌تریه مخصوصاً برای اجسامی که دارای برآمدگی هم باشند! چیزی که الان مطرح میشه اینه: معنی این ۱/۴۶۴۹۷ چیه؟ ما میدونیم که یک موجود دو بعدی یعنی اینکه توی صفحه جا میشه و یک موجود یک بعدی یعنی یک خط! پس این عدد بین ۱ و ۲ یعنی چی؟! این به همون ماجرا برمیگرده که وقتی ساختن این شکل رو تا بینهایت ادامه بدیم با یک شکل پر از لبه رو به رو میشیم. در ضمن یادآوری کنم که این فقط یک عدد هست! هر چند مفهوم قشنگی پشتش هست ولی یک عدده که ناهمواری شکل رو مطرح میکنه! به هر حال کاری که ریاضیدان‌ها بکنند قرار نیست واقعاً واقعی باشه 🙂

یک نکتهٔ دیگه اینکه هیچ وقت مطرح نمی‌شه که «اندازهٔ یک فرکتال» یا «متوسط اندازه یک فرکتال» چقدره بلکه همیشه ما با همین عدد که بعد غیرصحیح یا ناهمواری فرکتال هست کار می‌کنیم! شما امروز میتونید یه عدد به عنوان ناهمواری به کامپیوتر بدید و اون در کسری از ثانیه یک شکلی با اون ناهمواری رو براتون تولید کنه یا یک شکل دلخواه رو با اون ناهمواری بازتولید کنه! به همین سادگی! تقریباً هندسه فرکتالی پیشرفت زیادی کرد چون سر و کله کامپیوتر پیدا شد. در مورد این توی قسمت آخر بیشتر توضیح میدم!

خب بریم سراغ یه مثال دیگه؛ مثلث سیرپینسکی فرض کنید یک مثلث (متساوی الاضلاع برای قشنگی بیشتر!) داریم. وسط هر ضلعش رو مشخص میکنیم و بهم وصلشون میکنیم تا ۴ تا مثلث جدیدتر ساخته بشه. مثلث وسط رو دور می‌ریزیم. این کارو تا ابد انجام میدم. الان ما یک فرکتال داریم که بعدش ۱/۵۸ هست:
این عدد بیشتر از عدد قبل هست، فکر کنم شکل خودش نشون میده که ناهمواری مثلث سیرپینسکی از برف دانه ای که ساختیم بیشتره!

شیوه ایجاد مثلث سیرپینسکی

۳ ) بعد خود متشابهی فرکتال‌ها از بعد توپولوژیک اونها بیشتره!

این که بعد توپولوژیک دقیقا چیه، چیزیه که از حوصله‌ی این پست خارجه! شاید جداگونه در موردش بنویسم ولی فعلا به عنوان آشنایی، همین جوری که ما بعد خود متشابهی رو به صورت تقسیم دوتا لگاریتم تعریف کردیم میشه یه جور دیگه با ادبیات و شاید بهتره بگم ریاضیات مناسب‌تری بعد رو تعریف کرد و اون موقع یک سری عدد جدید به دست میاریم. این اعداد در مورد فرکتال‌ها جوریه که با مقدار خودمتشابهی شون فرق دارند و کمتر از اونها هستند مثلا بعد توپولوژیکی مثلث سیرپینسکی ۱ و بعد خودمتشابهیش (همین جوری که حساب کردیم) ۱/۵۸۵ هست که ۱/۵۸۵ > ۱!

خب جمع بندی کنیم؛ فرکتال ها دارای سه ویژيگی: ۱) خودمتشابهی ۲) دارای بعدخودمتشابهی غیرصحیح و ۳) بعدتوپولوژیکی کمتر از بعد خودمتشابهی هستند! پیشنهاد میکنم ویدیو زیر رو حتما ببینید؛ سخنرانی مندلبرو (پدر هندسه فرکتالی) در تد هست. درست چندماه بعد از این سخنرانی، مندلبرو، پیرمرد مهربان دنیای فرکتال ها به خاطر سرطان لوزالمعده ای که داشت از دنیا رفت. روحش قرین آرامش باد!